Calcule dos números tales que la suma de sus cuadrados sea 169 y su diferencia sea 7. En sistema de 2 ecuaciones.

Hallaremos 2 números, no sabemos cuales; lo llamaremos "x" y "y"

Primer número: x

Segundo número: y

La suma de sus cuadrados debe resultar 169:

x²+y²=169

La diferencia de ambos debe ser 7:
x-y=7

Ya tenemos un sistema de 2 ecuaciones:
x²+y²=169 → Ecuación 1

x-y=7 → Ecuación 2

Ahora resolveremos:
Despejamos a "x" de Ecuación 2
x-y=7
x=y+7

Y sustituimos el valor de "x" en Ecuación 1:
x²+y²=169
(y+7)²+y²=169 → Ecuación 3

Ahora resolvemos el binomio al cuadrado:
(y+7)²=y²+2(y)(7)+49²=y²+14y+49

Juntamos el resultado en Ecuación 3 y resolvemos:
y²+14y+49+y²=169
2y²+14y+49-169=0
2y²+14y-12=0

Simplificamos dividiendo entre 2 para obtener la mínima expresión:
(2y²+14y-120)/2=0
y²+7y-60=0 → Ecuación 4

Obtuvimos una ecuación cuadrática el cual podemos resolver por factorización y si no tiene factores, entonces por formula general, sin embargo este problema si tiene factores comunes. 
Necesitamos dos números que multiplicados me de -60 y sumados o restados me de +7, esos números son:
12 y -5
Multiplicados: (12)(-5)= -60
Sumados o restados: 12-5= 7

Ahora a factorizar a y²+7y-60=0
(y+12)(y-5)

Listo, si resolvemos esa multiplicación nos dará como resultado la Ecuación 4.
Ahora buscaremos solución a cada factor igualando a cero:
y+12=0
y=-12

y-5=0
y=5

Vemos que obtenemos un resultado positivo, significa que esa es la respuesta correcta: y=5
Ya sabemos que nuestro segundo número vale 5, ahora sustituimos el valor de "y" la Ecuación 2 para hallar el segundo número:
x-y=7
x-5=7
x=7+5 
x=12

Por lo tanto:
Primer número: 12
Segundo número: 5

Por último comprobamos, la suma de sus cuadrados debe dar 169:
x²+y²=169
12²+5²=169
144+25=169
169=169

Y su diferencia es 7:
x-y=7
12-5=7
7=7

Concluimos satisfactoriamente este problema, cualquier duda pueden externarlo abajo, en la caja de comentarios.
Reciban un cordial saludo.
Hasta la próxima.